如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，BA平分∠CBE，AD⊥BE，垂足为D。（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）若AC=2，tan∠ABD=2，求⊙

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如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，BA平分∠CBE，AD⊥BE，垂足为D。
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若AC=2

，tan∠ABD=2，求⊙O的直径。

答案

解：如右图所示，连接OA，
（1）∵BA平分∠CBE，
∴∠ABE=∠ABO，
又∵∠ABO=∠BAO，
∴∠BAO=∠ABD，
∵AD⊥BE，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠BAD=90°，
即∠DAO=90°，
∴AD是⊙O切线；

（2）∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
又∵∠ABD=∠ABO，tan∠ABD=2，
∴tan∠ABO=2，
在Rt△ABC中，AB=

，
∴BC=

=5。

举一反三

在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=

，BQ=3

。

（1）求⊙O的半径；
（2）若DE=，求四边形ACEB的周长。

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如图所示，在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，O是AB的中点，⊙O与AC、BC分别相切于点D、E，点F是⊙O与AB的一个交点，连接DF并延长交CB的延长线于点G，则BG的长是（）。

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如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，切点为A，D为⊙O上一点，AD与OC相交于点E，且∠DAB=∠C。
（1）求证：OC∥BD；
（2）若AO=5，AD=8，求线段CE的长

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已知AB为⊙O直径，以ＯA为直径作⊙M。过B作⊙M得切线BC，切点为C，交⊙O于E。

（1）在图中过点B作⊙M作另一条切线BD，切点为点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不用证明）；
（2）证明：∠EAC=∠OCB；
（3）若AB=4，在图2中过O作OP⊥AB交⊙O于P，交⊙M的切线BD于N，求BN的值。

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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E。

（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD∶AE=4∶5，BC=6，求⊙O的直径。

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