等边三角形ABK、BCL、CDM和DAN，证明四线段KL、LM、MN、NK的中点和八线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的中点，是一个正十二边形的

题型：竞赛题难度：来源：

等边三角形ABK、BCL、CDM和DAN，证明四线段KL、LM、MN、NK的中点和八线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的中点，是一个正十二边形的十二个顶点。

答案

证明：如图，以已知正方形的中心O为原点，以正方形边长之半为长度单位建立直角坐标系．则正方形四个顶点的坐标分别为： A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）
∵所作的四个等边三角形分别对称于x轴或y轴，
∴K、L、M、N四点在X轴和y轴上，它们的坐标分别为：

CL、NK、CM的中点分别为：
利用距离公式可得



所以 |OP₁|=|OP₂|=|OP₃| 且 |P₁P₂|=|P₂P₃|
又由对称性可知，这十二条线段的中点，即图中的点P₁、P₂、P₃、…、P₁₁、P₁₂，与O点的距离都相等，即它们都在以O为圆心，为半径的圆上，并且每相邻两点之间的距离都相等，（都等于）因此，这12个点是一个正十二边形的顶点。