如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°，正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合，现将正方形ABCD在梯形的外面

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如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°，正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合，现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动。
（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S。

答案

解：（1）①以D为圆心，AD=1为半径画弧a₁，交MN于M（与A重合）；
②以DN的中点E（ED=1）为圆心，EA=为半径画弧a₁，a₁和a₂相交于A₁（与C重合）；
③以N为圆心，NE =1为半径画弧a₂，a₂和a₃相交于，与NP相交于A₃；
④以P为圆心，=1为半径画弧a₄；
⑤在PQ上取F使PF=AD=1，以F为圆心，为半径画弧a₅，a₄和a₅相交于A₄；
⑥在PQ上取G使FG=AD=1，以G为圆心，1为半径画弧a₆，a₆和a₅相交于A₅，交PQ于A₆（与Q重合）。则点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图为弧。（画图过程略）

（2）弧AA₁与AD，A₁D围成图形的面积为：圆的面积（半径为1）=；
弧A₁A₂与A₁D，DN，A₂N围成图形的面积为：
圆的面积（半径为）+正方形的面积（边长为1）=
弧A₂A₃与A₂N，NA₃围成图形的面积为：
圆的面积（半径为1）=
其他三块小面积分别与以上三块相同.所以点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S为。