如图,AB为⊙O的直径,弦CD垂直平分OB于点E,点F在AB延长线上,∠AFC=30°。(1)求证:CF为⊙O的切线;(2)若半径ON⊥AD于点M,CE=,求图
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如图,AB为⊙O的直径,弦CD垂直平分OB于点E,点F在AB延长线上,∠AFC=30°。(1)求证:CF为⊙O的切线;(2)若半径ON⊥AD于点M,CE=,求图
题型:辽宁省中考真题
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如图,AB为⊙O的直径,弦CD垂直平分OB于点E,点F在AB延长线上,∠AFC=30°。
(1)求证:CF为⊙O的切线;
(2)若半径ON⊥AD于点M,CE=
,求图中阴影部分的面积。
答案
解:(1)连结OC、BC,
∵CD垂直平分OB,
∴OC=BC
∵OB=OC,
∴OB=OC=BC
∴△OCB是等边三角形
∴∠BOC=60°
∵∠CFO=30°,
∴∠OCE=90°
∴OC⊥CF
∵OC是⊙O的半径,
∴CF是⊙O的切线;
(2)连结OD,
由(1)可得∠COF=60°,由圆的轴对称性可得∠EOD=60°,
∴∠DOA=120°
∵OM⊥AD,OA=OD,
∴∠DOM=60°
在Rt△COE中CE=
,∠ECO=30°,cos∠ECO=
,
∴OC=2
∴S
扇形OND
=
π,
∴S
△OMD
=
∴S
阴影
=S
扇形OND
-S
△OMD
=
。
举一反三
如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,点D为AB的中点,已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B,且AC=2,则图中阴影部分的面积为( )(结果不去近似值)。
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[ ]
A、a
2
-π
B、(4-π)a
2
C、π
D、4-π
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1
B
1
C
1
,并求出△ABC在上述旋转过程中扫过的面积。
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