试题分析:(1)利用正方形与平行线的性质,易求线段EF的长度. (2)①首先依题意画出图形,如答图1所示.证明△OFH∽△BFG,得;由EF∥AB,得.所以。 ②由OP=OH,则问题转化为证明,根据①中的结论,易得,故问题得证。 (3)本问为探究型问题,利用线段性质(两点之间线段最短)解决,如答图2所示,构造矩形,将2PO+PM转化为NK+PM,由NK+PM≥NK+KM,NK+KM≥MN=8,可得当点P在线段MN上时,2OP+PM的值最小,最小值为8。 解:(1)在正方形OABC中,∠FOE=∠BOA=∠COA=45°。 ∵EF∥AB,∴∠FEO=∠BAO=90°。∴∠EFO=∠FOE=45°。 又E(﹣2,0),∴EF=EO=2。 (2)①画图,如答图1所示。
证明:∵四边形OABC是正方形,∴OH∥BC。 ∴△OFH∽△BFG。∴。 ∵EF∥AB,∴。 ∴。 ②证明:∵半圆与GD交于点P,∴OP=OH。 由①得:, 又EO=2,EA=OA﹣EO=6﹣2=4, ∴。 通过操作、观察可得,4≤BG≤12。 (3)由(2)可得:, ∴2OP+PM=BG+PM。 如答图2所示,过点M作直线MN⊥AB于点N,交GD于点K,则四边形BNKG为矩形。
∴NK=BG。 ∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM,当点P与点K重合,即当点P在直线MN上时,等号成立。 又∵NK+KM≥MN=8,当点K在线段MN上时,等号成立。 ∴当点P在线段MN上时,2OP+PM的值最小,最小值为8。 |