在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D是BC上一动点(不与B、C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转α后到达AE位置,连接DE、CE,设∠BCE=β.(1)
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在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D是BC上一动点(不与B、C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转α后到达AE位置,连接DE、CE,设∠BCE=β. (1)如图1,若α=90°,求β的大小;
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106144659-25683.png) (2)如图2,当点D在线段BC上运动时,试探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论;
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106144659-21550.png) (3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时(画出图形),(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明,若不成立,请直接写出α与β之间的数量关系. |
答案
(1)90°(2)α+β=180°,证明见解析(3)不成立,α=β |
解析
解:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠B=∠ACB=45°. ∵∠DAB=α-∠DAC,∠EAC=α-∠DAC, ∴∠EAC=∠DAB. 又AB=AC,AD=AE, ∴△DAB≌△EAC. ∴∠ECA=∠B=45°. ∴β=∠ACB+ECA=90°. (2)α+β=180°. 证明:∵∠BAC=∠DAE=α, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC. 即∠BAD=∠CAE. 又AB=AC,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE. ∴∠B=∠ACE. ∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB. ∴∠B+∠ACB=β. ∵α+∠B+∠ACB=180°, ∴α+β=180°. (3)当点D在线段BC的反向延长线上运动时,(2)中的结论不能成立,此时:α=β成立. 其理由如下: 类似(2)可证∴△DAB≌△ECA, ∴∠DBA=∠ECA, 又由三角形外角性质有∠DBA=α+∠DCA, 而∠ACE=β+∠DCA, ∴α=β. (1)先利用边角边定理证明△DAB与△EAC全等,再根据全等三角形的对应角相等得到∠ECA=∠B=45°,β的值即可求出; (2)方法同(1)证出∠ECA=∠B,所以∠B+∠ACB=β,再根据三角形内角和定理即可得到α+β=180°; (3)方法同(2)证出∠ECA=∠ABD,所以α+∠DCA=β+∠DCA,所以α=β. |
举一反三
已知y是x的一次函数,它的图像过点P(-2、3),与x,y轴分别交于A、B,若 ,求点B的坐标。 |
轴对称图形中任意一组对应点的连线段的 是该图形的对称轴. |
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的 . |
角是轴对称图形,其对称轴是 角的平分线 所在的直线. |
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