在一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．（1）第一小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图1）；再沿G

题型：不详难度：来源：

在一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．
（1）第一小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B"处（如图2），这样能得到∠B"GC的大小，你知道∠B"GC的大小是多少吗？请写出求解过程．

（2）第二小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3的方式剪下△ABC，其中BA＝BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图4．已知AH＝AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值．

（3）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题:
如图5，已知AA"＝BB"＝CC"＝2，∠AOB"＝∠BOC"＝∠COA"＝60°，
请利用图形变换探究S_△AOB"＋S_△BOC"＋S_△COA"与的大小关系．

答案

解：（1）连接BB"，由题意得EF垂直平分BC，故BB"＝B"C，由翻折可得，
B"C＝BC，∴△BB"C为等边三角形．∴∠B"CB＝60°，
（或由三角函数FC：B"C＝1：2求出∠B"CB＝60°也可以．）
∴∠B"CG＝30°，∴∠B"GC＝60°
（2）分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，∵△ABC中，BA＝BC，根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，∴DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI．
在Rt△AHR中，AH＝AI＝4a，AH²＝HR²＋AR²，HR²＝a²，
则DP²＝FQ²＝HR²＝a²，
AD²＝AP²＋DP²＝6a²，AF²＝AQ²＋FQ²＝10a²，
新三角形三边长为4a、a、a．
∵AH²＝AD²＋AF²   ∴新三角形为直角三角形．
其面积为aa＝a²．∵a²＜15 ∴a²＜15
（或通过转换得新三角形三边就是AD、DI、AI，即求△GAI的面积或利用△HAI与△HGI相似，求△HAI的面积也可以）
∴a的最大整数值为3．

（3）将△BOC"沿BB"方向平移2个单位，所移成的三角形记为△B"PR，
将△COA"沿A"A方向平移2个单位，所移成的三角形记为△AQR．
由于OQ＝OA＋AQ＝OA＋OA"＝AA"＝2，OP＝OB"＋B"P＝OB"＋OB＝BB"＝2．又∠QOP＝60°，则PQ＝OQ＝OP＝2，
又因为QR＋PR＝OC＋OC"，故O、R、P三点共线．因为S_△QOP＝，
所以S_△AOB"＋S_△BOC"＋S_△COA"＝S_△AOB"＋S_△B"PR＋S_△PQA＜ 

解析

此题考核图形的翻折的性质、平移变换的性质，相似的性质