如图,已知正方形ABCD.(1)请用直尺和圆规,作出正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到的正方形AB′C′D′(其中B′,C′,D′分别是点B,C,D的像
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如图,已知正方形ABCD.(1)请用直尺和圆规,作出正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到的正方形AB′C′D′(其中B′,C′,D′分别是点B,C,D的像
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知正方形ABCD.
(1)请用直尺和圆规,作出正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到的正方形AB′C′D′(其中B′,C′,D′分别是点B,C,D的像)(要求保留作图痕迹,不必写出作法);
(2)设CD与B′C′相交于O点,求证:OD=OB′;
(3)若正方形的边长为
,求两个正方形的重叠部分(四边形AB′OD)的面积.
答案
解:(1)
(2)连结B′D.
∵正方形AB′C′D′由正方形ABCD旋转得到,∴AD=AB′,∠ADO=∠AB′O=90°,
∴∠ADB′=∠AB′D,∴∠ODB′=∠OB′D,∴OD=OB′.
(3)连结AC.∵正方形ABCD,∴∠CAB=45°.
由题意知∠BAB′=45°,∴∠CAB=∠BAB′,
即B′在AC上,∴△OB′C是等腰直角三角形.
设OD=OB′=x,则OC=
.
∵CD=
,∴
,∴x=1.
∴S
四边形
A
B′OD
=S
△A
CD
-S
△
B′CO
=
.
解析
(1)利用旋转的特征即可作出图形;
(2)根据旋转的特征,可得AD=AB′,∠ADO=∠AB′O=90°,根据等边对等角得到∠ADB′=∠AB′D,所以∠ODB′=∠OB′D,再由等角对等边得到OD=OB′.
(3)先说明△OB′C是等腰直角三角形,再根据勾股定理可以求得OB′的长,
所以S
四边形
A
B′OD
=S
△A
CD
-S
△
B′CO=
举一反三
下列图形中,是中心对称图形的是 ( )
A.
B.
C.
D.
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② 此次平移可看作将△ABC向_____平移了_____个单位长度, 再向_____平移了_____个单位长度得△A′B′C′;
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