分析: (1)延长DM交CE于点N,利用角边角定理可以证明△ADM与△ENM全等,根据全等三角形对应边相等可得DM=MN,AD=NE,再连接DF、FN,根据等腰直角三角形两腰相等,两个底角都是45°,利用边角边定理可以证明△CDF与△ENF全等,根据全等三角形对应边相等可得DF=NF,对应角相等可得∠CFD=∠EFN,然后推出∠DFN=∠CFE=90°,再根据等腰三角形三线合一的性质即可得证; (2)先过点E作EG∥AD交DC的延长线于点G,然后根据(1)的思路延长DM交EG于点N,利用角边角定理可以证明△ADM与△ENM全等,根据全等三角形对应边相等可得DM=MN,AD=NE,再连接DF、FN,根据四边形的内角和等于360°以及平角等于180°求出∠DCE=∠NEF,再利用边角边定理可以证明△CDF与△ENF全等,根据全等三角形对应边相等可得DF=NF,对应角相等可得∠CFD=∠EFN,然后推出∠DFN=∠CFE=90°,再根据等腰三角形三线合一的性质即可得证。 解答: (1)证明:如图1,延长DM交CE于点N,
∵M是AE的中点, ∴AM=ME, ∵CE在正方形ABCD的边BC的延长线上, ∴AD∥CE, ∴∠DAM=∠NEM, 在△ADM与△ENM中,∠DAM=∠NEM;AM=EM;∠AMD=∠EMN ∴△ADM≌△ENM(ASA), ∴DM=MN,AD=NE, 连接DF、FN, ∵△CEF是等腰直角三角形, ∴∠CEF=∠ECF=45°,CF=EF, ∴∠DCF=90°-∠ECF=90°-45°=45°, ∴∠CEF=∠DCF, 在△CDF与△ENF中,CD=NE;∠CEF=∠DCF;CF=EF ∴△CDF≌△ENF(SAS), ∴DF=NF,∠CFD=∠EFN, ∵∠CFE=90°, ∴∠DFN=∠CFD+∠CFN=∠EFN+∠CFN=∠CFE=90°, 又∵DM=MN, ∴MD=MF,MD⊥MF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等腰三角形三线合一); (2)解:仍然成立.理由如下: 如图2,过点E作EG∥AD交DC的延长线于点G,延长DM交EG于点N, ∴∠DAM=∠NEM, ∵M是AE的中点, ∴AM=ME, 在△ADM与△ENM中,∠DAM=∠NEM;AM=EM;∠AMD=∠EMN ∴△ADM≌△ENM(ASA), ∴DM=MN,AD=NE, 连接DF、FN, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠G=∠ADC=90°, ∴∠NEF=360°-90°×2-∠GCF=180°-∠GCF, ∠DCF=180°-∠GCF, ∴∠DCF=∠NEF, 在△CDF与△ENF中,CD=NE;∠DCF=NEF;CF=EF ∴△CDF≌△ENF(SAS), ∴DF=NF,∠CFD=∠EFN, ∵∠CFE=90°, ∴∠DFN=∠CFD+∠CFN=∠EFN+∠CFN=∠CFE=90°, 又∵DM=MN, ∴MD=MF,MD⊥MF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等腰三角形三线合一)。 点评:本题考查了正方形的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,综合性较强,需要两次利用三角形全等证明,思路比较繁琐。 |