如图，已知正方形ABCD的面积为S．（1）求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称，点D1

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如图，已知正方形ABCD的面积为S．
（1）求作：四边形A₁B₁C₁D₁，使得点A₁和点A关于点B对称，点B₁和点B关于点C对称，点C₁和点C关于点D对称，点D₁和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法）
（2）用S表示（1）中作出的四边形A₁B₁C₁D₁的面积S₁；
（3）若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按（1）的要求作出一个新的四个边形，面积为S₂，则S₁与S₂是否相等，为什么？

答案

（1）如图①所示．

（2）设正方形ABCD的边长为a，
则AA₁=2a，S_△AA1D1=

1

2

?AA₁?AD₁=a²，


同理，S_△BB1A1=S_△CC1B1=S_△DD1C1=a²，
∴S₁=S_△AA1D1+S_△BB1A1+S_△CC1B1+S_△DD1C1+S_{正方形ABCD}=5a²=5S．
（本问也可以先证明四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，再求出其边长为

5

a，从而算出S_{四边形A1B1C1D1}=5S）

（3）S₁=S₂
理由如下：
首先画出图形②，连接BD、BD₁，
∵△BDD₁中，AB是中线，
∴S_△ABD1=S_△ABD．
又∵△AA₁D₁中，BD₁是中线，


∴S_△ABD1=S_△A1BD1
∴S_△AA1D1=2S_△ABD
同理，得S_△CC1B1=2S_△CBD
∴S_△AA1D1+S_△CC1B1=2（S_△ABD+S_△CBD）=2S．
同理，得S_△BA1B1+S_△DD1C1=2S，
∴S₂=S_△AA1D1+S_△BB1A1+S_△CC1B1+S_△DD1C1+S_{四边形ABCD}=5S．
由（2）得，S₁=5S．
∴S₁=S₂．