如图,在直角坐标系中,已知点P0的坐标为(1,0),将线段OP0按逆时针方向旋转45°,将其长度伸长为OP0的2倍,得到线段OP1;再将线段OP1按逆时针方向旋

如图,在直角坐标系中,已知点P0的坐标为(1,0),将线段OP0按逆时针方向旋转45°,将其长度伸长为OP0的2倍,得到线段OP1;再将线段OP1按逆时针方向旋

题型:不详难度:来源:
如图,在直角坐标系中,已知点P0的坐标为(1,0),将线段OP0按逆时针方向旋转45°,将其长度伸长为OP0的2倍,得到线段OP1;再将线段OP1按逆时针方向旋转45°,长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;如此下去,得到线段OP3,OP4,…,OPn(n为正整数)
(1)求点P6的坐标;
(2)求△P5OP6的面积;
(3)我们规定:把点Pn(xn,yn)(n=0,1,2,3,…)的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(|xn|,|yn|)称之为点Pn的“绝对坐标”.根据图中点Pn的分布规律,请你猜想点Pn的“绝对坐标”,并写出来.
答案

(1)根据旋转规律,点P6落在y轴的负半轴,而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍,故其坐标为P6(0,-26),即P6(0,-64);

(2)由已知可得,△P0OP1△P1OP2△Pn-1OPn
设P1(x1,y1),则y1=2sin45°=


2

SP0OP1=
1
2
×1×


2
=


2
2

又∵
OP6
OP1
=32

SP5OP6
SP0OP1
=(
32
1
)2=1024

SP5OP6=1024×


2
2
=512


2


(3)由题意知,OP0旋转8次之后回到x轴正半轴,在这8次中,点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上,但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数,因此,点Pn的坐标可分三类情况:令旋转次数为n,
①当n=8k或n=8k+4时(其中k为自然数),点Pn落在x轴上,此时,点Pn的绝对坐标为(2n,0);
②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时(其中k为自然数),点Pn落在各象限的平分线上,此时,点Pn的绝对坐标为(


2
2
×2n


2
2
×2n),即(2n-1


2
,2n-1


2
);
③当n=8k+2或n=8k+6时(其中k为自然数),点Pn落在y轴上,
此时,点Pn的绝对坐标为(0,2n).
举一反三
如图,△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置,若∠E=21°,∠C=18°,E,B,C在同一直线上,则旋转角的度数是______.
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生活中的旋转随处可见,下列现象属于旋转的是(  )
A.苹果从树上落下
B.坐电梯从1楼到18楼
C.拧开自来水龙头
D.摩托车在急刹车时向前滑动
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如图,在菱形ABCD中,AB=BD.点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF.连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.下列结论:
①△AED≌△DFB;②S四边形BCDG=


3
4
CG2;③若AF=2DF,则BG=6GF.
其中正确的结论(  )
A.只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③

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如图,△ACE是等腰直角三角形,B为AE上一点,△ABC经过旋转到达△EDC的位置,若AC=2


2
,DE=1,则BE=______,BC=______.
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作图题(保留痕迹,不写作法)
如图,在10×5的正方形网格中,每个小正方形边长均为单位1,将△ABC向右平移4个单位,得到△A1B1C1,再把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2,请画出△A1B1C1和△A2B2C2
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