问题:如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG,PC,若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置
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问题:如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG,PC,若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置
题型:北京中考真题
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问题:如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连结PG,PC,若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置关系及
的值,小聪同学的思路是:延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决。
请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及
的值;
(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2),你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(3)若图1中∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出
的值(用含α的式子表示)。
答案
解:(1)线段PG与PC的位置关系是
;
;
(2)猜想:(1)中的结论没有发生变化.
证明:如图,延长GP交AD于点H,连结
.
P是线段DF的中点,
由题意可知
四边形ABCD是菱形,
由
,且菱形BEFG的对角线
BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,
可得
四边形BEFG是菱形,
即
;
(3)
。
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中,
,
、
为
的半径,
于点F,
于点G
求证:阴影部分四边形
的面积是
的面积的
.
(2)如图2,若
保持角度
不变,
求证:当
绕着点O旋转时,由两条半径和
的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是
的面积的
.
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1
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1
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1
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1
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1
逆时针旋转60
。
,再作出所得图形。
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