我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”。数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系
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我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”。数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系
题型:同步题
难度:
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我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休”。数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透。数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系的问题,或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案。例如,求1+2+3+4+…+n的值,其中n是正整数。对于这个求和问题,如果采用纯代数的方法(首尾两头加),问题虽然可以解决,但在求和过程中,需对n的奇偶性进行讨论。如果采用数形结合的方法,即用图形的性质来说明数量关系的事实,那就非常的直观。现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n 的值,方案如下:如图,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3,…,n个小圆圈排列组成的。而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+n的值。为求式子的值,现把左边三角形倒放于斜线右边,与原三角形组成一个平行四边形。此时,组成平行四边形的小圆圈共有n行,每行有(n+1)个小圆圈,所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n(n+1)个,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为
,即1+2+3+4+…+n=
。
(1)仿照上述数形结合的思想方法,设计相关图形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n是正整数(要求:画出图形,并利用图形做必要的推理说明)。
(2)试设计另外一种图形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n是正整数(要求:画出图形,并利用图形做必要的推理说明)。
答案
解:(1)如图:
因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行,每行有[(2n -1)+1]个,即2n个,所以组成此平行四边形的小圆圈共有(n×2n)个,即2n
2
个所以1+3+5+7+…+(2n-1)==n
2
。
(2)如图:
因为组成此正方形的小圆圈共有n行,每行有n个,所以共有(n×n)个,即n
2
个
所以1+3+5+7+…+(2n-1)=n×n=n
2
。
举一反三
观察下列等式:
1-
=
,2-
=
,3-
=
,4-
=
,…,根据你发现的规律,解答下列问题:
(1)写出第5个等式;
(2)第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少?
题型:同步题
难度:
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观察下列等式的规律:
9-1=8,16-4 =12,25-9 =16,36 -16= 20,…
(1)用关于n(n≥1的自然数)的等式表示这个规律;
(2)当这个等式的右边等于2008时,求n。
题型:同步题
难度:
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观察下列式子:
1
2
+l=1×2,2
2
+2=2×3,3
2
+3=3×4,…
请你将猜想到的规律用自然数n表示出来( )。
题型:同步题
难度:
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将1,-
,
,-
,
,-
,…按一定规律排列如下:
第1行:1
第2行:-
,
第3行:-
,
,-
第4行:
,-
,
,-
第5行:
,-
,
,-
,
……
请你写出第20行从左到右的第10个数是( )。
题型:同步题
难度:
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观察下列数表:
第1列 第2列 第3列 第4列…
第一行:1 2 3 4…
第二行:2 3 4 5…
第三行:3 4 5 6…
第四行:4 5 6 7…
… … … … …
第n行第3列对应的数字为
[ ]
A.n+l
B.n+2
C.n+3
D.n+4
题型:期中题
难度:
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