（1）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：①当

题型：不详难度：来源：

（1）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
①当

DE

AE

=1时，有EF=

a+b

2

；
②当

DE

AE

=2时，有EF=

a+2b

3

；
③当

DE

AE

=3时，有EF=

a+3b

4

．
当

DE

AE

=k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示EF的一般结论，并给出证明；
（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图所示），其中AB∥CD，AD⊥AB，AB=310米，DC=170米，AD=70米．若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等．请你给出具体分割方案．

答案

（1）猜想得：EF=

a+kb

1+k

，
证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于H．

∵AB∥CD，
∴△AGE∽△DHE，
∴

DH

AG

=

DE

AE

，
又∵EF∥AB∥CD，
∴CH=EF=GB，
∴DH=EF-a，AG=b-EF，
∴

EF-a

b-EF

=k，可得EF=

a+kb

1+k

；

（2）在AD上取一点E，作EF∥AB交BC于点F，
设

DE

AE

=k，
则EF=

170+310k

1+k

，DE=

70k

1+k

，
若S_梯形DCFE=S_梯形ABFE，则S_梯形ABCD=2S_梯形DCFE，
∵梯形ABCD、DCFE为直角梯形，
∴

170+310

2

×70=2×

1

2

×（170+

170+310x

1+x

）×

70k

1+k

，
化简得12k²-7k-12=0解得：k1=

4

3

，k2=-

3

4

（舍去），
∴DE=

70

1+k

=30，
所以只需在AD上取点E，使DE=30米，作EF∥AB（或EF⊥DA），
即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等．