试题分析:(1)∵等边三角形ABC的高为3,∴A1点的纵坐标为3。 ∵顶点A1恰落在直线l上,∴,解得;x=。 ∴A1点的坐标是(,3)。 (2)设P(x,y),连接A2P并延长交x轴于点H,连接B2P,先求出A2B2=2,HB2=,根据点P是等边三角形A2B2C2的外心,得出PH=1,将y=1代入,即可得出点P的坐标。 设P(x,y),连接A2P并延长交x轴于点H,连接B2P, 在等边三角△A2B2C2中,高A2H=3, ∴A2B2=2,HB2=。 ∵点P是等边三角形A2B2C2的外心, ∴∠PB2H=30°。 ∴PH=1,即y=1。 将y=1代入,解得:x=3。 ∴P(3,1)。 (3)分四种情况分别讨论。 ∵点P是等边三角形A2B2C2的外心, ∴△PA2B2,△PB2C2,△PA2C2是等腰三角形, ∴点P满足的条件,由(2)得P(3,1)。
由(2)得,C2(4,0),点C2满足直线的关系式,∴点C2与点M重合。 ∴∠PMB2=30°。 设点Q满足的条件,△QA2B2,△B2QC2,△A2QC2能构成等腰三角形, 此时QA2=QB2,B2Q=B2C2,A2Q=A2C2。 作QD⊥x轴与点D,连接QB2, ∵QB2=2,∠QB2D=2∠PMB2=60°,∴QD=3,∴Q(,3)。 设点S满足的条件,△SA2B2,△C2B2S,△C2PA2是等腰三角形, 此时SA2=SB2,C2B2=C2S,C2A2=C2S。 作SF⊥x轴于点F, ∵SC2=2,∠SB2C2=∠PMB2=30°,∴SF=。∴S(4﹣3,)。 设点R满足的条件,△RA2B2,△C2B2R,△C2A2R能构成等腰三角形, 此时RA2=RB2,C2B2=C2R,C2A2=C2R。 作RE⊥x轴于点E, ∵RC2=2,∠RC2E=∠PMB2=30°,∴ER=。∴R(4+3,﹣)。 综上所述,存在四个点,与(2)中的A2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形,分别是P(3,1),Q(,3),S(4﹣3,),R(4+3,﹣)。 |