已知二次函数f(x)＝ax2＋x，若对任意x1，x2∈R，恒有2f()≤f(x1)＋f(x2)成立，不等式f(x)<0的解集为A.(1)求集合A；(2)设

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f(x)＝ax²＋x，若对任意x₁，x₂∈R，恒有2f()≤f(x₁)＋f(x₂)成立，不等式f(x)<0的解集为A.
(1)求集合A；
(2)设集合B＝{x||x＋4|<a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．

答案

（1）(－，0)   （2）(0，－2＋]

解析

解：(1)对任意x₁，x₂∈R，
有f(x₁)＋f(x₂)－2f()＝a(x₁－x₂)²≥0，
要使上式恒成立，∴a≥0.
由f(x)＝ax²＋x是二次函数知a≠0，故a>0.
由f(x)＝ax²＋x＝ax(x＋)<0，
∴不等式f(x)<0的解集为A＝(－，0)．
(2)解得B＝(－a－4，a－4)，
∵B⊆A，
∴
解得0<a≤－2＋.
∴a的取值范围为(0，－2＋]．