设函数定义在R上，对于任意实数m，n，恒有，且当时，。（1）求证：且当时，；（2）求证：在R上是减函数；（3）设集合，，且， 求实数a的取值范围。

题型：解答题难度：困难来源：福建省期中题

设函数定义在R上，对于任意实数m，n，恒有，且当时，。
（1）求证：且当时，；
（2）求证：在R上是减函数；
（3）设集合，，且， 求实数a的取值范围。

答案

（1）证明：，m、n为任意实数，
取，则有，
∵当时，，
∴，；
当时，，
∴，则，
取，则，
则，
∴。
（2）证明：由（1）及题设可知，在R上，
设，令，
则，，
∴
                           ，
，
∴，即，
所以在R上是减函数。
（3）解：在集合A中，有，
由已知条件，有，
∴，即，
在集合B中，有，
∵，则抛物线与直线无交点，
又，
∴，即，
即a的取值范围是。