已知函数f(x)=1+lnxx(1)若k>0且函数f(x)在区间(k,k+34)上存在极值,求实数k的取值范围(2)如果存在x∈[2,+∞),使得不等式f(x)
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已知函数f(x)=1+lnxx(1)若k>0且函数f(x)在区间(k,k+34)上存在极值,求实数k的取值范围(2)如果存在x∈[2,+∞),使得不等式f(x)
题型:不详
难度:
来源:
已知函数
f(x)=
1+lnx
x
(1)若k>0且函数f(x)在区间(k,k+
3
4
)上存在极值,求实数k的取值范围
(2)如果存在x∈[2,+∞),使得不等式
f(x)≤
a
x+2
成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)∵函数
f(x)=
1+lnx
x
,
∴
f
′
(x)=
1+lnx
x
,
由
f
′
(x)=
-lnx
x
2
=0
,得x=1,
由条件
k<1
k>0
k+
3
4
>1
,
解得
1
4
<k<1
.
(2)∵
a≥
(x+2)(1+lnx)
x
=(1+
2
x
)(1+lnx),
设g(x)=(1+
2
x
)(1+lnx),
g
′
(x)=
x-2lnx
x
2
,
再设h(x)=x-2lnx,
h
′
(x)=1-
2
x
≥0
,
∴h(x)增,h(x)≥h(2)>0,
∴g′(x)>0,g(x)增.
∴g(x)≥g(2)=2(1+ln2),
∴a≥2+2ln2.
举一反三
已知f(x)=x
3
+ax
2
-a
2
x+2.
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;
(Ⅱ)若a≠0 求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若不等式2xlnx≤f′(x)+a
2
+1恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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.经过原点(0,0)做函数f(x)=x
3
+3x
2
的切线,则切线方程为______.
题型:辽宁一模
难度:
|
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已知f(x)=x
3
+ax
2
-2x是奇函数,则其图象在点(1,f(1))处的切线方程为 ______.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2]
B.(-∞,2)
C.[0,+∞)
D.(2,+∞)
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+b(a,b∈R)
(1)若函数f(x)在x=0,x=2处取得极值,且极小值为-2,求a,b的值.
(2)若x∈[0,1],函数f(x)在图象上任意一点的切线的斜率为k,求k≤1恒成立时a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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