(12分)已知定义域为的偶函数. (1)求实数的值; (2)判断并证明的单调性;(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围.

题型：解答题难度：简单来源：不详

(12分)已知定义域为的偶函数.
(1)求实数的值;
(2)判断并证明的单调性;
(3)若对任意恒成立，求实数的取值范围.

答案

（1）；
（2）设，则
当时，为上的增函数；当时，为上的减函数。（3）。

解析

试题分析：(1)
          …… ……………………………………………3分
⑵设
则



当时，，，为上的增函数；
当时，，，为上的增函数。
综上可得，当时，为上的增函数。
同理可证，当时，为上的减函数。   ………………7分
⑶对任意恒成立，
对任意恒成立，
对任意恒成立，
对任意恒成立
对任意恒成立，（令）
                         ……………………………………12分
点评：用定义法证明函数单调性的步骤：一设二作差三变形四判断符号五得出结论，其中最重要的是四变形，最好变成几个因式乘积的形式，这样便于判断符号。