(1)由于 | f2(x)-f1(x)=x2+ | f3(x)-f2(x)=x3+ | … | fn(x)-fn-1(x)=xn+ |
| | ; (2分) 所以fn(x)=xn+xn-1+…+x+1++…++; (4分) (2)(每小题结论正确(1分),证明(1分),共6分) 当n=1时,f1(x)=x+1+,易证函数的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 单调递减区间为(-1,0),(0,1);值域为(-∞,-1]∪[3,+∞) 当n=2时,f2(x)=x2+x+1++f2(x)=(x++)2-,易证函数的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞;单位递减区间为(-∞,-1),(0,1);因此函数在(-∞,0)值域为[f2(-1),+∞),在(0,+∞)上值域为[5,+∞) 因此函数f2(x)=x2+x+1++值域为[1,+∞) 当n=3时,f3(x)=x2+x+1+++x3+=f2(x)+x3+ 易证f2(x)、x3+,在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增, 所以f3(x)=x2+x+1+++x3+在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增. 由于f3(x)=x3+x2+x+1+++=()(1+)-1,用定义易证f3(x)=x3+x2+x+1+++在(-∞,-1)单调递增,在(-1,0)上单调递减.f3(x)=x3+x2+x+1+++的值域为(-∞,-1]∪[7,+∞) (3)以下给出若干解答供参考,评分方法参考本小题阅卷说明: 第一类问题 结论一、f4(x)=x4+x3+x2+x+1++++单调递增区间为(-1,0),(1,+∞)单调递减区间为(-∞,-1),(0,1);值域为[1,+∞); 结论二、f5(x)=x5+x4+x3+x2+x+1+++++单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞) ;单调递减区间为(0,1),(-1,0),值域为(-∞,-1]∪[11,+∞) 解法及评分说明:解法与f3(x)=x3+x2+x+1+++类同,结论分2分,证明正确得2分,共4分; 第二类问题 结论三、当x>0时,fn(x)=xn+xn-1+…+x+1++…++ 在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,值域为[2n+1,+∞) 结论四、当x<0且n为奇数时,fn(x)=xn+xn-1+…+x+1++…++在(-1,0)单调递减,在(-∞,-1)单调递增;值域为(-∞,-1]; 结论五、当x<0且n为偶数时,fn(x)=xn+xn-1+…+x+1++…++在(-∞,-1)单调递减,在(-1,0)单调递增;值域为[1,+∞); 解法及评分说明:结论三的单调性证明可以用数学归纳法完成;即;x>0时. ①当n=1时,f1(x)=x+1+,用定义易证函数在(0,1)单调递减;在(1,+∞)上单调递增;计算得值域为(-∞,-1]∪[3,+∞) ②设函数fn(x)=xn+xn-1+…+x+1++…++(n∈N*)在(0,1)单调递减;在(1,+∞) 上单调递增;计算得值域为[2n+1,+∞) 则fn+1(x)=fn(x)+xn+1+,对于任意0<x1<x2,fn+1(x2)-fn+1(x1) =fn(x2)-fn(x1)++-- =fn(x2)-fn(x1)+(-)(1-),易证函数fn+1(x)=fn(x)+xn+1+在(0,1) 单调递减,在(1,+∞)上单调递增;值域为[2(n+1)+1,+∞). 所以由①、②可得结论成立. 结论四及结论五的证明,可以先求和,后用定义进行证明,即:fn(x)=()×(1+)-1, fn(x2)-fn(x1)=(-)(-1)+(-)(x2x1-) | (1-x1)(1-x2) | ,容易获得结论的证明. 解法及评分说明:结论分3分,证明正确得3分,共6分; 第三类问题 结论六:当n为奇数时,fn(x)=xn+xn-1+…+x+1++…++在(-1,0),(0,1) 单调递减,在(-∞,-1),(1,+∞)单调递增;值域为(-∞,-1]∪[2n+1,+∞); 结论七:当n为偶数时单调递增区间为(-1,0),(1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1),(0,1) ;值域为[1,+∞); 结论八:当n为奇数时,fn(x)=xn+xn-1+…+x+1++…++在(-1,0),(0,1)单调递减,在(-∞,-1),(1,+∞)单调递增;值域为(-∞,-1]∪[2n+1,+∞); 当n为偶数时单调递增区间为(-1,0),(1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1),(0,1);值域为[1,+∞); 解法及评分说明:解法与第二类问题类同.结论分4分,求解正确得4分,共8分. |