已知函数f（x）=(12)x•g(x)=x-2x+1（1）求函数F（x）=f（2x）-f（x），x∈[0，2]的值域；（2）试判断H（x）=f（-2x）+g（x

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=(

1

2

)x•g(x)=

x-2

x+1

（1）求函数F（x）=f（2x）-f（x），x∈[0，2]的值域；
（2）试判断H（x）=f（-2x）+g（x）在（-1，+∞）的单调性并加以证明．

答案

（1）F（x）=(

1

2

)2x-(

1

2

)x
令t=(

1

2

)x（t＞0）则
y=t2-t=(t-

1

2

)2-

1

4

当t=

1

2

，y最小为-

1

4

当t=2时，y有最大值为2
故F（x）的值域为[-

1

4

，2]
（2）H（x）=4x-

3

x+1

+1
∵H′(x)=4xlnx+

3

(x+1)2

＞0
∴H（x）在（-1，+∞）单调递增