(1)令t=log2x,则x=2t, 故f(t)=a(2t)2-2•2t+1-a. ∴f(x)=a(2x)2-2•2x+1-a, (2)再设m=2x,则m>0,y=am2-2m+1-a, ①当a=0时,y=-2m+1(m>0),在(0,+∞)上是减函数,其值域为(-∞,1); ②当a>0时,y=am2-2m+1-a的对称轴m=>0, 故其在(0,)上是减函数,在(,+∞)上是增函数.其值域为(-+1-a,+∞); ③当a<0时,y=am2-2m+1-a的对称轴m=<0, 故其在(0,+∞)上是减函数.其值域为(-∞,1-a); (3)∵h(x)=a•2x+(1-a)2-x-2, ∴h′(x)=aln2•2x-(1-a)lna•2-x, 由h′(x)=aln2•2x-(1-a)lna•2-x=0,得x0=log2(0<a<1). 由x0=log2>1得0<a<,由x0=log2<-1,得a>, ∵h(0)=-1,h(1)=(a-1), 由f(1)>f(0),得(a-1)>-1,得a>. ①当0<a≤时,h′(x)=aln2•2x-(1-a)lna•2-x<0恒成立,函数h(x)在[-1,1]上是减函数, ∴函数h(x)在[-1,1]内的最大值是h(-1)=-a,最小值是h(1)=(a-1). ∵对任意x1,x2∈[-1,1]总有|h(x1)-h(x2)|≤成立, ∴-a-(a-1)≤,∴a≥2.不合,舍去. ②当<a≤时,函数h(x)在[-1,x0]上是减函数,在(x0,1]上是增函数 ∴函数h(x)在[-1,1]内的最大值是h(-1)=-a,最小值是h(x0)=2-2. ∵对任意x1,x2∈[-1,1]总有|h(x1)-h(x2)|≤成立, ∴-a-2+2≤, ∴≥a≥. ③当<a≤时,函数h(x)在[-1,x0]上是减函数,在(x0,1]上是增函数 ∴函数h(x)在[-1,1]内的最大值是h(1)=(a-1),最小值是h(x0)=2-2. ∵对任意x1,x2∈[-1,1]总有|h(x1)-h(x2)|≤成立, ∴(a-1)-2+2≤, ∴<a≤. ④当a>时,h′(x)=aln2•2x-(1-a)lna•2-x>0恒成立,函数h(x)在[-1,1]上是增函数, ∴函数h(x)在[-1,1]内的最大值是h(1),最小值是h(-1). ∵对任意x1,x2∈[-1,1]总有|h(x1)-h(x2)|≤成立, ∴(a-1)+a≤, ∴a≤.不合,舍去. 综上所述,a的取值范围为[,]. |