设f(x)的定义域(0,+∞),对于任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,f()=-1。(1)求f(2)的值;(2)求
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设f(x)的定义域(0,+∞),对于任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,f()=-1。(1)求f(2)的值;(2)求
题型:解答题
难度:一般
来源:0117 月考题
设f(x)的定义域(0,+∞),对于任意正实数m,n恒有f(mn)=f(m)+f(n),且当x>1时,f(x)>0,f(
)=-1。
(1)求f(2)的值;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解关于x的不等式
,其中p>-1。
答案
解:(1)令m=n=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0,
,
∴f(2)=1;
(2)设
,则
,由已知,得
,
,
∴
,
而
,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数。
(3)由f(2)=1,得2=f(2)+f(2)=4,
又
,
∴不等式化为
,
由(2)知f(x)在(0,+∞)上单增,
∴原不等式即为
,
①当p>0时,得x>4,
;
②当p=0时,不等式
不成立,解集为
;
③当
时,即-1<p<0时,原不等式化为
,
解得:
。
举一反三
若对于任意的x∈[a,b],函数f(x),g(x)总满足
,则称在区间[a,b]上,g(x)可以代替f(x)。若
,则下列函数中,可以在区间[4,16]上代替f(x)的是
[ ]
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B、g(x)=x
C、g(x)=
(x+6)
D、g(x)=2x-6
题型:单选题
难度:一般
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函数y=
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题型:填空题
难度:简单
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函数
的值域是( )。
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题型:解答题
难度:一般
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x
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