已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(2,0),一条渐近线为y=12x,过点B(0,2)且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P,
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已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(2,0),一条渐近线为y=12x,过点B(0,2)且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P,
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的右顶点为A(2,0),一条渐近线为
y=
1
2
x
,过点B(0,2)且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P,Q.
(I)求双曲线的方程及k的取值范围;
(II)是否存在常数k,使得向量
OP
+
OQ
与
AB
垂直?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由.
答案
(I)由题意,a=2,
b
a
=
1
2
,∴b=1
∴双曲线的方程为
x
2
4
-
y
2
=1
设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线方程,可得(4k
2
-1)x
2
+16kx+20=0
∵过点B(0,2)且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P,Q
∴4k
2
-1≠0且△=256k
2
-80(4k
2
-1)>0,即
k
2
≠
1
4
且
k
2
<
5
4
解得-
5
2
<k<
5
2
且k≠
±
1
2
;
(II)设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=
-16k
4
k
2
-1
,
∵
OP
+
OQ
=(x
1
+x
2
,y
1
+y
2
),
AB
=(-2,2),
OP
+
OQ
与
AB
垂直
∴-2(x
1
+x
2
)+2(y
1
+y
2
)=0
∴(x
1
+x
2
)(k-1)+4=0
∴
-16k(k-1)
4
k
2
-1
+4=0
∴k=
1
4
∴存在常数k=
1
4
,使得向量
OP
+
OQ
与
AB
垂直.
举一反三
设双曲线
x
2
9
-
y
2
16
=1
的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为______.
题型:闸北区一模
难度:
|
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等轴双曲线
x
2
2
-
y
2
2
=1
的离心率e的值是( )
A.2
B.
2
C.
2
2
D.
2
2
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
=1(a>0)
的渐近线为x±y=0,则双曲线的焦距为( )
A.
2
B.2
C.2
2
D.4
题型:不详
难度:
|
查看答案
双曲线9x
2
-y
2
=-1的渐近线方程为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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(3
2
,1)
,求双曲线的标准方程及离心率.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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