已知定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)满足:f(m)+f(n)=f(m·n)对任意m,n∈(0,+∞)均成立.(Ⅰ)求f(1)的值;若f(a)=1,求的值;
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已知定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)满足:f(m)+f(n)=f(m·n)对任意m,n∈(0,+∞)均成立.(Ⅰ)求f(1)的值;若f(a)=1,求的值;
题型:解答题
难度:一般
来源:0112 模拟题
已知定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)满足:f(m)+f(n)=f(m·n)对任意m,n∈(0,+∞)均成立.
(Ⅰ)求f(1)的值;若f(a)=1,求
的值;
(Ⅱ)若关于x的方程2f(x+1)=f(kx)有且仅有一个根,求实数k的取值集合.
答案
解:(Ⅰ)令m=n=1,解得:f(1)=0;
又令
,解得:
。
(Ⅱ)令m=n,得:
,
所求方程等价于
,
又
是
上的单调函数,所以原方程可化为
,
即若k>0,则原问题为方程
在
上有一个根,
设其两根为
,则
,又注意到
,∴只可能是二重正根,
由△=0,解得k=4或k=0(矛盾,舍去);
若k<0,则原问题为方程
在(-1,0)上有一个根,仍有
,
记
,易知g(0)=1>0,
由根的分布原理,只需 g(-1)<0,即k<0;
综上,
。
举一反三
设f(x)=(x-1)
3
+1,利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法,可求得f(-4)+ …+f(0)+ …+f(5)+f(6)的值为:( )。
题型:填空题
难度:一般
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函数
的定义域为
[ ]
A.(
,+∞)
B.[1,+∞)
C.(
,1]
D.(-∞,1)
题型:单选题
难度:简单
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设函数f(x)的定义域为[0,1],则函数f(
-2)的定义域为( )。
题型:填空题
难度:简单
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如果函数f(x)满足:对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)f(b),且f(1)=2,则
( )。
题型:填空题
难度:一般
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函数f(x)=
的定义域为( )
题型:填空题
难度:简单
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