(本小题满分14分)设函数，试求函数f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值.

题型：解答题难度：一般来源：不详

(本小题满分14分)
设函数，试求函数f(x)存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值.

答案

– a2

解析

由条件得：f (x )=，                 4分
∵a > 0,              
∴ – (1 + a )< 0, f (x )在（–∞，a）上是减函数.
如果函数f (x )存在最小值，则f (x )在[a,+ ∞)上是增函数或常数.
∴1 – a ³ 0,
得a £ 1,
又a > 0, ∴0< a £ 1.                                             5分
反之，当0< a £ 1时，
(1 – a ) ³ 0, ∴f (x )在f[a,+ ∞)上是增函数或常数.
–(1 + a )< 0, ∴f (x )在（–∞，a）上是减函数.
∴f(x )存在最小值f（a）. 
综合上述f (x )存在最小值的充要条件是0< a £ 1，此时f (x)min =" –" a2    3分