设函数f（x）=|x+1|+|2x-1|。（1）画出函数y=f（x）的图象；（2）若对任意x∈（-∞，0]，f（x）≤ax+b恒成立，求a-b的最大值。

题型：解答题难度：一般来源：吉林省模拟题

设函数f（x）=|x+1|+|2x-1|。
（1）画出函数y=f（x）的图象；
（2）若对任意x∈（-∞，0]，f（x）≤ax+b恒成立，求a-b的最大值。

答案

解：（1）由于
则函数y=f（x）的图象如图所示
；
（2）结合函数图象，比较直线y=ax+b与y=-3x的斜率及y=2-x在y轴上的截距，
当且仅当时，不等式f（x）≤ax+b在（-∞，0]上恒成立，
∴a-b≤-5，即a-b的最大值为-5。