已知函数f(x)=ax2+2bx+1(a，b为实数)，x∈R，F(x)=，(Ⅰ)若f(-1)=0，且函数f(x)的值域为[0，+∞)，求F(x)的表达式；(Ⅱ)

题型：解答题难度：一般来源：专项题

已知函数f(x)=ax²+2bx+1(a，b为实数)，x∈R，F(x)=，
(Ⅰ)若f(-1)=0，且函数f(x)的值域为[0，+∞)，求F(x)的表达式；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，当x∈[-2，2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
(Ⅲ)设m·n＜0，m+n＞0，a＞0且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于零？

答案

解：(Ⅰ)∵f(-1)=0，
∴a-2b+1=0，
又x∈R，f(x)≥0恒成立，
∴，
∴b²-(2b-1)≤0，b=1，a=1，
∴f(x)=x²+2x+1=(x+1)²，
∴。
(Ⅱ)g(x)=f(x)-kx=x²+2x+1-kx=x²+(2-k)x+1，
当或，即k≥6或k≤-2时，g(x)是单调函数．
(Ⅲ)∵f(x)是偶函数，
∴f(x)=ax²+1，，
∵m·n＜0，设m＞n，则n＜0，
又m+n＞0，m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|，
F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am²+1)-an²-1=a(m²-n²)＞0，
∴F(m)+F(n)能大于零．