已知函数f(x)=bx+1(ax+1)2(x≠-1a,a>0),且f(1)=log162,f(-2)=1.(1)求函数f(x)的表达式;(2)若数列xn的项满足
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已知函数f(x)=bx+1(ax+1)2(x≠-1a,a>0),且f(1)=log162,f(-2)=1.(1)求函数f(x)的表达式;(2)若数列xn的项满足
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=
bx+1
(ax+1)
2
(x≠-
1
a
,a>0)
,且f(1)=log
16
2,f(-2)=1.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若数列x
n
的项满足x
n
=[1-f(1)]•[1-f(2)]•…•[1-f(n)],试求x
1
,x
2
,x
3
,x
4
;
(3)猜想数列x
n
的通项,并用数学归纳法证明.
答案
(1)∵
f(x)=
bx+1
(ax+1)
2
(x≠-
1
a
,a>0)
,且f(1)=log
16
2,f(-2)=1.
∴
b+1
(a+1)
2
=log
16
2=
1
4
,
-2b+1
(-2a+1)
2
=1
解得:
a=1
b=0
∴函数
f(x)=
1
(x+1)
2
(2)由(1)中
f(x)=
1
(x+1)
2
∴x
n
=[1-f(1)]•[1-f(2)]•…•[1-f(n)],
当n=1时,
x
1
=
3
4
.
当n=2时,
x
2
=
4
6
,
当n=3时,
x
3
=
5
8
,
当n=4时,
x
4
=
6
10
(3)由(2)中结论我们易得:
x
n
=
n+2
2(n+1)
.
当n=1时,结论显然成立
设n=k时,结论成立,即
x
k
=
k+2
2(k+1)
则当n=k+1时,
x
k+1
=
x
k
•[1-
1
(k+2
)
2
]
=
k+2
2(k+1)
•[1-
1
(k+2)
2
]
=
(k+2)+1
2[(k+1)+1]
即n=k+1时,结论也成立.
故
x
n
=
n+2
2(n+1)
.
举一反三
细杆AB长为20cm,AM段的质量与A到M的距离平方成正比,当AM=2cm时,AM段质量为8g,那么当AM=x时,M处的细杆线密度ρ(x)为( )
A.5x
B.4x
C.3x
D.2x
题型:单选题
难度:简单
|
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∫
10
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难度:一般
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题型:填空题
难度:一般
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