如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=20km,BC=10km。为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)

如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=20km,BC=10km。为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)

题型:解答题难度:一般来源:江苏高考真题
如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=20km,BC=10km。为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与A、B等距离的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO、BO、PO,设排污管道的总长度为ykm,
(Ⅰ)按下列要求建立函数关系:
(ⅰ)设∠BAO=θ(rad),将y表示为θ的函数;
(ⅱ)设PO=x(km),将y表示成x的函数;
(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系,确定污水处理厂的位置,使铺设的排污管道的总长度最短.
答案
解:(Ⅰ)(ⅰ)如图,延长PO交AB于点Q,
由题设可知,AO=BO,PO=10-OQ,
在Rt△AQO中,
所以,
又易知
故y用θ表示的函数为
(ⅱ)由题设可知,在Rt△AQO中,
,显然0≤x≤10,
所以y用x表示的函数为(Ⅱ)选用(Ⅰ)中的函数关系
来确定符合要求的污水处理厂的位置.
因为
所以
由y′=0得
,故
时,y′<0;当时,y′>0,
所以函数y在时取得极小值,这个极小值就是函数y在上的最小值,
时,
因此,当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B两点的距离均为时, 铺设的排污管道的总长度最短.
举一反三
求下列函数的解析式.
(1)已知f(x)=x2+2x,求f(2x+1);
(2)已知f(-1)=x+2,求f(x);
(3)已知f(x)-2f()=3x+2,求f(x).
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某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为[     ]
A、
B、
C、
D、
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=ax+(a,b为常数),且方程f(x)=x有两个实根为x1=-1,x2=2,
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)若x∈[,3],f(x)<恒成立,则求m的最小正整数。
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某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且l≥2r,假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元,
(Ⅰ)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;
(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r。
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某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且l≥2r。假设该容器的建造费用仅与其表面积有关,已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3),设该容器的建造费用为y千元,
(Ⅰ)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;
(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r。
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