已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R. (1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值; (2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围. |
答案
(1)k=-1. (2)(0,+∞) |
解析
(1)∵f(x)=2x+k·2-x是奇函数, ∴f(-x)=-f(x),x∈R, 即2-x+k·2x=-(2x+k·2-x), ∴(1+k)+(k+1)·22x=0对一切x∈R恒成立, ∴k=-1. (2)∵x∈[0,+∞),均有f(x)>2-x, 即2x+k·2-x>2-x成立, ∴1-k<22x对x≥0恒成立, ∴1-k<(22x)min, ∵y=22x在[0,+∞)上单调递增, ∴(22x)min=1, ∴k>0. ∴实数k的取值范围是(0,+∞). |
举一反三
下列函数中,对于任意的 ,满足条件 的函数是( ) |
下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是 |
(2013•湖北)已知a为常数,函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点x1,x2(x1<x2)( ) |
设 是定义在R上的偶函数,且 时, ,若在区间 内,函数 恰有1个零点,则实数 的取值范围是( ) |
设 是定义在R上的偶函数,且 时, ,若在区间 内关于 的方程 有四个零点,则 的取值范围是( ) |
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