试题分析:(1)新定义问题,必须读懂题意,严格按定义进行等价转化.本题判断函数是否为“圆锥托底型”函数,即判断是否存在常数 ,使得 对一切实数 均成立,若成立必须证明,否则给出反例.本题解题关键在于常数 的确定. ,所以可确定常数 而由 可知无论常数 为什么正数, 总能取较小的数比它小,即总能举个反例,如当 时, 就不成立.(2)本题实质按新定义转化为不等式恒成立问题:存在 ,使得 对于任意实数恒成立.即当 时, ,而 取得最小值2,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818033348-76274.png) .(3)本题是讨论满足不等式恒成立的条件.即实数 、 满足什么条件,存在常数 ,使得 对一切实数 均成立.当 时, , 、 无限制条件;当 时, ,需 ,否则若 ,则当 时, ,即 不能恒成立;若 ,则 . 试题解析:(1). ,即对于一切实数 使得 成立,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818033348-76274.png) “圆锥托底型” 函数. 2分 对于 ,如果存在 满足 ,而当 时,由 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818033348-76274.png) ,得 ,矛盾,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818033348-76274.png) 不是“圆锥托底型” 函数. 5分 (2)![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818033352-92361.png) 是“圆锥托底型” 函数,故存在 ,使得 对于任意实数恒成立.
当 时, ,此时当 时, 取得最小值2,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818033348-76274.png) 9分 而当 时, 也成立.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818033348-76274.png) 的最大值等于 . 10分 (3)①当 , 时, ,无论 取何正数,取 ,则有 ,
不是“圆锥托底型” 函数. 12分 ②当 , 时, ,对于任意 有 ,此时可取![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818033354-77549.png) ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818033348-76274.png) 是“圆锥托底型” 函数. 14分 ③当 , 时, ,无论 取何正数,取 .有 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818033348-76274.png) 不是“圆锥托底型” 函数. 16分 ④当 , 时, ,无论 取何正数,取 ,有 ,![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20190818/20190818033348-76274.png) 不是“圆锥托底型” 函数. 由上可得,仅当 时, 是“圆锥托底型” 函数. 18分 |