已知定义域为R的函数是奇函数.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)判断的单调性并证明;(Ⅲ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
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已知定义域为R的函数是奇函数.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)判断的单调性并证明;(Ⅲ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知定义域为R的函数
是奇函数.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)判断
的单调性并证明;
(Ⅲ)若对任意的
,不等式
恒成立,求
的取值范围.
答案
(Ⅰ)
;(Ⅱ)
在R上为减函数,证明详见解析;(Ⅲ)
.
解析
试题分析:(Ⅰ)思路一、由
可求得a的值;
思路二、由于
是R上的奇函数,所以
,由此也可求得a的值.
(Ⅱ)思路一:根据函数单调性的定义证明;思路二:利用导数证明.
(Ⅲ)因
是奇函数,从而不等式
等价于
在R上为减函数,由上式得:
解此不等式即可.
试题解析:(I)法一、函数
的定义域为R,因为
是奇函数,所以
,
即
,故
.
法二、由
是R上的奇函数,所以
,故
.
再由
,
通过验证
来确定
的合理性 4分
(Ⅱ)由(1)知
由上式易知
在R上为减函数.
证明:法一、由(1)知
设
,则
,
所以
,所以
在R上为减函数. 8分
法二、由(1)知
求导得:
,所以
在R上为减函数. 8分
(Ⅲ)又因
是奇函数,从而不等式
等价于
在R上为减函数,由上式得:
即对一切
从而
12分
举一反三
若偶函数
在
上是增函数,则下列关系式中成立的是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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函数
的单调递减区间是 ( )
A.
B.(-
,-1),(3,+
)
C.(1,3)
D.(1,+
)
题型:单选题
难度:简单
|
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下列函数,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+
)上单调递减的是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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奇函数
在
上为单调递减函数,且
,则不等式
的解集为( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
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