已知函数.(1) 试判断函数在上单调性并证明你的结论；(2) 若恒成立, 求整数的最大值；(3) 求证：.

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知函数.
(1) 试判断函数在上单调性并证明你的结论；
(2) 若恒成立, 求整数的最大值；
(3) 求证：.

答案

（1）上是减函数
（2）正整数k的最大值是3
（3）由(Ⅱ)知∴利用放缩法得到。

解析

试题分析：解：(1)
 上是减函数 4分
(2)即h(x)的最小值大于k.
 则上单调递增,
又 存在唯一实根a, 且满足

当 
∴ 故正整数k的最大值是3  ----9分
(3)由(Ⅱ)知∴ 
令, 则
∴ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]

∴(1＋1×2)(1＋2×3)…[1＋n(n＋1)]＞e^2n－3          14分
点评：主要是考查了导数在研究函数单调性的运用，属于中档题。