设函数(),.(Ⅰ)关于的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数的取值范围;(Ⅱ)对于函数与定义域上的任意实数,若存在常数,使得和都成立,则称直线为函数与的“分界
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设函数(),.(Ⅰ)关于的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数的取值范围;(Ⅱ)对于函数与定义域上的任意实数,若存在常数,使得和都成立,则称直线为函数与的“分界
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
设函数
(
),
.
(Ⅰ)关于
的不等式
的解集中的整数恰有3个,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)对于函数
与
定义域上的任意实数
,若存在常数
,使得
和
都成立,则称直线
为函数
与
的“分界线”.设
,
,试探究
与
是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)
. (Ⅱ)
.
解析
(1)解本题的关键是把不等式解集的问题转化为函数零点的分布问题.把函数
代入
整理得
构造结合
二次函数的性质得一个零点在区间
,则另一个零点必在
内,所以
解得
;也可以分解因式确定解集的端点解得.前提都要保证
.
(2)
与
是否存在“分界线”要先看是否存在公共点,构造函数
研究单调性可求出
与
有公共点
,所以分界线必过点
设出“分界线”方程为
,
证明
在
恒成立,求出
.然后证明
恒成立.即可得到所求“分界线”方程为:
(Ⅰ)解法一:不等式
的解集中的整数恰有3个,
等价于
恰有三个整数解,故
,
令
,由
且
,
所以函数
的一个零点在区间
,
则另一个零点一定在区间
, …………4分
故
解之得
. ………………6分
解法二:
恰有三个整数解,故
,即
,
,
所以
,又因为
, …………4分
所以
,解之得
. ……………6分
(Ⅱ)设
,则
.
所以当
时,
;当
时,
.
因此
时,
取得最小值
,
则
与
的图象在
处有公共点
.………8分
设
与
存在 “分界线”,方程为
,
即
,
由
在
恒成立,
则
在
恒成立 .
所以
因此
. ………11分
下面证明
恒成立.
设
,则
.
所以当
时,
;当
时,
.
因此
时
取得最大值
,则
故所求“分界线”方程为:
.
举一反三
若函数
在
上为增函数,则实数
的取值范围是
.
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
、函数
的一个单调增区间是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
.函数
在定义域R内可导,若
,且当
时,
.设
,则( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
函数
的减区间是
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
下列哪个函数的图像关于原点对称( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
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