(本小题满分14分)已知函数,(x>0).(1)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求的值 ; (2)是否存在实数a,b(a<b)
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(本小题满分14分)已知函数,(x>0).(1)当0<a<b,且f(a)=f(b)时,求的值 ; (2)是否存在实数a,b(a<b)
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
(本小题满分14分)已知函数
,(
x
>0).
(1)当0<
a
<
b
,且
f
(
a
)=
f
(
b
)时,求
的值 ;
(2)是否存在实数
a
,
b
(
a
<
b
),使得函数
y
=
f
(
x
)的定义域、值域都是[
a
,
b
],若存在,求出
a
,
b
的值,若不存在,请说明理由.
(3)
若存在实数
a
,
b
(
a
<
b
),使得函数
y
=
f
(
x
)的定义域为 [
a
,
b
]时,值域为 [
ma
,
mb
],(
m
≠0),求
m
的取值范围.
答案
(14分)(1)
.
(2)不存在满足条件的实数a,b.
(3)
解析
(14分)解:(1)∵x>0,∴
∴
f
(
x
)在(0,1)上为减函数,在
上是增函数.
由0<
a
<
b
,且
f
(
a
)=
f
(
b
),可得 0<
a
1<
b
和
.即
.
……………………3分
(2)不存在满足条件的实数a,b.
若存在满足条件的实数a,b,使得函数y=
的定义域、值域都是[a,b],
则a>0. 而
①当
时,
在(0,1)上为减函数.
故
即
解得 a=b.
故此时不存在适合条件的实数a,b.
②当
时,
在
上是增函数.
故
即
此时a,b
是方程
的根,此方程无实根.
故此时不存在适合条件的实数a,b.
③当
,
时,由于
,而
,
故此时不存在适合条件的实数a,b.
综上可知,不存在适合条件的实数a,b. …………………………8分
(3)若存在实数a,b(a<b),使得函数y=f(x)的定义域为[a,b]时,值域为[ma,mb].
则a>0,m>0.
① 当
时,由于f(x)在(0,1)上是减函数,故
.此时得a=b,不符合题意,所以a,b不存在.
② 当
,
时
,由(2)知0在值域内,值域不可能是[m
a,mb],所以a,b不存在.
故只有
.
∵
在
上是增函数,
∴
即
所以a、b是方程
的两个根.
即关于x的方程
有两个大于或等于1的相异实根.
设这两个根为
、
,则
+
=
,
·
=
.
∴
即
解得
.
故m的取值范围是
. ……………………………14分
举一反三
函数
的单调递增区间为
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
(本小题满分14分)
设函数
的定义域为
R
,当
x
<0时,
>1,且对任意的实数
x
,
y
∈
R
,有
.
(1)求
,判断并证明函数
的单调性;
(2)数列
满足
,且
,
①求
通项公式;
②当
时,不等式
对不小于2的正整数
恒成立,求
x
的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
函数
(
)是
上的减函数,则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
函数
定义在区间
上,则
是单调函数的充要条件是
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
函数
有如下命题:
(1)函数
图像关于
轴对称;
(2)当
时,
是增函数,
时,
是减函数;
(3)函数
的最小值是
;
(4)当
或
时,
是增函数。
其中正确命题的序号有
***
题型:填空题
难度:简单
|
查看答案
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