(1)∵关于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集为(m,m+1), 即不等式x2+(a+1-2m)x+m2+m<0的解集为(m,m+1), ∴x2+(a+1-2m)x+m2+m=(x-m)(x-m-1). ∴x2+(a+1-2m)x+m2+m=x2-(2m+1)x+m(m+1). ∴a+1-2m=-(2m+1). ∴a=-2.…(2分) (2)解法1:由(1)得g(x)===(x-1)+. ∴φ(x)=g(x)-kln(x-1)=(x-1)+-kln(x-1)的定义域为(1,+∞). ∴φ"(x)=1--=.…(3分) 方程x2-(2+k)x+k-m+1=0(*)的判别式△=(2+k)2-4(k-m+1)=k2+4m.…(4分) ①当m>0时,△>0,方程(*)的两个实根为x1=<1,x2=>1,…(5分) 则x∈(1,x2)时,φ"(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ"(x)>0. ∴函数φ(x)在(1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. ∴函数φ(x)有极小值点x2.…(6分) ②当m<0时,由△>0,得k<-2或k>2, 若k<-2,则x1=<1,x2=<1, 故x∈(1,+∞)时,φ"(x)>0, ∴函数φ(x)在(1,+∞)上单调递增. ∴函数φ(x)没有极值点.…(7分) 若k>2时,x1=>1,x2=>1, 则x∈(1,x1)时,φ"(x)>0;x∈(x1,x2)时,φ"(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ"(x)>0. ∴函数φ(x)在(1,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. ∴函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(8分) 综上所述,当m>0时,k取任意实数,函数φ(x)有极小值点x2; 当m<0时,k>2,函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(9分) (其中x1=,x2=) 解法2:由(1)得g(x)===(x-1)+. ∴φ(x)=g(x)-kln(x-1)=(x-1)+-kln(x-1)的定义域为(1,+∞). ∴φ"(x)=1--=.…(3分) 若函数φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在极值点等价于函数φ"(x)有两个不等的零点,且 至少有一个零点在(1,+∞)上.…(4分) 令φ"(x)==0, 得x2-(2+k)x+k-m+1=0,(*) 则△=(2+k)2-4(k-m+1)=k2+4m>0,(**) …(5分) 方程(*)的两个实根为x1=,x2=. 设h(x)=x2-(2+k)x+k-m+1, ①若x1<1,x2>1,则h(1)=-m<0,得m>0,此时,k取任意实数,(**)成立. 则x∈(1,x2)时,φ"(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ"(x)>0. ∴函数φ(x)在(1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. ∴函数φ(x)有极小值点x2.…(6分) ②若x1>1,x2>1,则得 又由(**)解得k>2或k<-2, 故k>2.…(7分) 则x∈(1,x1)时,φ"(x)>0;x∈(x1,x2)时,φ"(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ"(x)>0. ∴函数φ(x)在(1,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. ∴函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(8分) 综上所述,当m>0时,k取任何实数,函数φ(x)有极小值点x2; 当m<0时,k>2,函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(9分) (其中x1=,x2=) (3)证法1:∵m=1,∴g(x)=(x-1)+. ∴[g(x+1)]n-g(xn+1)=(x+)n-(xn+)=xn+xn-1•+xn-2•+…+x•+-(xn+) =xn-2+xn-4+…+x2-n.…(10分) 令T=xn-2+xn-4+…+x2-n, 则T=x2-n+x4-n+…+xn-2=x2-n+x4-n+…+xn-2. ∵x>0, ∴2T=(xn-2+x2-n)+(xn-4+x4-n)+…+(x2-n+xn-2)…(11分)≥•2+•2+…+•2…(12分) =2(++…+)=2(+++…++--)=2(2n-2).…(13分) ∴T≥2n-2,即[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2.…(14分) 证法2:下面用数学归纳法证明不等式(x+)n-(xn+)≥2n-2. ①当n=1时,左边=(x+)-(x+)=0,右边=21-2=0,不等式成立; …(10分) ②假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即(x+)k-(xk+)≥2k-2, 则 (x+)k+1-(xk+1+)=(x+)[(x+)k-(xk+)]+(x+)(xk+)-(xk+1+)=(x+)[(x+)k-(xk+)]+(xk-1+)…(11分)≥2•(2k-2)+2=2k+1-2.…(13分) 也就是说,当n=k+1时,不等式也成立. 由①②可得,对∀n∈N*,[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2都成立.…(14分) |