已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,∫01f(x)dx=-2.(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值.
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0,∫01f(x)dx=-2. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. |
答案
(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f′(x)=2ax+b. 由f(-1)=2,f′(0)=0,得,即. ∴f(x)=ax2+(2-a). 又∫01f(x)dx=∫01[ax2+(2-a)]dx =[ax3+(2-a)x]|01=2-a=-2, ∴a=6,∴c=-4. 从而f(x)=6x2-4. (2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1], 所以当x=0时f(x)min=-4; 当x=±1时,f(x)max=2. |
举一反三
设f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)的导函数为f"(x),且对任意正数x均有f′(x)>, (1)判断函数F(x)=在(0,+∞)上的单调性; (2)设x1,x2∈(0,+∞),比较f(x1)+f(x2)与f(x1+x2)的大小,并证明你的结论; (3)设x1,x2,…xn∈(0,+∞),若n≥2,比较f(x1)+f(x2)+…+f(xn)与f(x1+x2+…+xn)的大小,并证明你的结论. |
如果f(x)的定义域为R,f(x+2)=f(x+1)-f(x),若f(1)=lg3-lg2,f(2)=lg3+lg5,则f(3)等于( )A.1 | B.lg3-lg2 | C.-1 | D.lg2-lg3 |
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定义一种运算“*”:对于自然数n满足以下运算性质:(i)1*1=1,(ii)(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于( ) |
函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范围是( )A.(0,1) | B.(1,3) | C.(1,3] | D.[3,+∞) |
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设函数f(x)=,则满足f(x)≤2的x的取值范围是______. |
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