(1)由于f′(x)>得,>0,而x>0, 则xf′(x)-f(x)>0, 则F′(x)=>0,因此F(x)=在(0,+∞)上是增函数. (2)由于x1,x2∈(0,+∞),则0<x1<x1+x2,而F(x)=在(0,+∞)上是增函数,则F(x1)<F(x1+x2),即<, ∴(x1+x2)f(x1)<x1f(x1+x2)(1),同理 (x1+x2)f(x2)<x2f(x1+x2)(2) (1)+(2)得:(x1+x2)[f(x1)+f(x2)]<(x1+x2)f(x1+x2),而x1+x2>0, 因此 f(x1)+f(x2)<f(x1+x2). (3)证法1:由于x1,x2∈(0,+∞),则0<x1<x1+x2+…+xn,而F(x)=在(0,+∞)上是增函数,则F(x1)<F(x1+x2+…+xn), 即<, ∴(x1+x2+…+xn)f(x1)>x1f(x1+x2+…+xn) 同理 (x1+x2+…+xn)f(x2)>x2f(x1+x2+…+xn)…(x1+x2+…+xn)f(xn)>xnf(x1+x2+…+xn) 以上n个不等式相加得:(x1+x2+…+xn)[f(x1)+f(x2)+…f(xn)]>(x1+x2+…+xn)f(x1+x2+…+xn) 而x1+x2+…+xn>0,f(x1)+f(x2)+…f(xn)>f(x1+x2+…+xn). 证法2:数学归纳法 ①当n=2时,由(2)知,不等式成立; ②当n=k(n≥2)时,不等式f(x1)+f(x2)+…f(xn)>f(x1+x2+…+xn)成立, 即f(x1)+f(x2)+…f(xk)>f(x1+x2+…+xk)成立, 则当n=k+1时,f(x1)+f(x2)+…f(xk)+f(xk+1)>f(x1+x2+…+xk)+f(xk+1) 再由(2)的结论,f(x1+x2+…+xk)+f(xk+1)>f[(x1+x2+…+xk)+xk+1]f(x1+x2+…+xk)+f(xk+1)>f(x1+x2+…+xk+xk+1) 因此不等式f(x1)+f(x2)+…f(xn)>f(x1+x2+…+xn)对任意n≥2的自然数均成立 |