已知α,β是方程4x2-4kx-1=0(k∈R)的两个不等实根,函数f(x)=2x-kx2+1的定义域为[α,β].(Ⅰ)判断函数f(x)在定义域内的单调性,并

已知α,β是方程4x2-4kx-1=0(k∈R)的两个不等实根,函数f(x)=2x-kx2+1的定义域为[α,β].(Ⅰ)判断函数f(x)在定义域内的单调性,并

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知α,β是方程4x2-4kx-1=0(k∈R)的两个不等实根,函数f(x)=
2x-k
x2+1
的定义域为[α,β].
(Ⅰ)判断函数f(x)在定义域内的单调性,并证明.
(Ⅱ)记:g(k)=maxf(x)-minf(x),若对任意k∈R,恒有g(k)≤a•


1+k2
成立,
求实数a 的取值范围.
答案
(Ⅰ)证一:设α≤x1<x2≤β,则4x12-4tx1-1≤0,4x22-4tx2-1≤0,
4(
x21
+
x22
)-4t(x1+x2)-2≤0,  ∴2x1x2-t(x1+x2)-
1
2
<0

f(x2)-f(x1)=
2x2-t
x22
+1
-
2x1-t
x21
+1
=
(x2-x1)[t(x1+x2)-2x1x2+2]
(
x22
+1)(
x21
+1)

t(x1+x2)-2x1x2+2>t(x1+x2)-2x1x2+
1
2
>0  ∴f(x2)-f(x1)>0

故f(x)在区间[α,β]上是增函数.       ….….(6分)
证二:f(x)=
-2x2+2kx+2
(x2+1)2
,x∈[
k-


k2+1
2
k+


k2+1
2
]

易知:当x∈[α,β]时,4x2-4kx-1≤0,∴-2x2+2kx+2≥
3
2
f(x)≥0

故f(x)在区间[α,β]上是增函数.
(Ⅱ)g(k)=f(β)-f(α)=


k2+1
(16k2+40)
16k2+25
≤a•


1+k2
恒成立.a≥
16k2+40
16k2+25
=1+
15
16k2+25
,考虑
15
16k2+25
的最大值为
3
5
,∴a≥
8
5
…(13分)
举一反三
已知b函数f(x)=
x2+2x+a
x
,x∈[1,∞).
(1)当a<0时,判断函数f(x)的单调性,并证明你的结论;
(3)当a=
1
2
时,求函数f(x)的最值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
平面上的整点(横、纵坐标都是整数)到直线y=
5
3
x+
4
5
的距离中的最小值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知0<x<
3
4
,则函数y=5x(3-4x)的最大值为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(2x+1)=x2-2x,则f(3)=(  )
A.-1B.0C.1D.3
题型:单选题难度:一般| 查看答案
判断函数f(x)=2x2-x+1在[1,+∞)上的单调性并证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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