己知函数f(x)=2x-12x+1，（Ⅰ）证明函数f（x）是R上的增函数；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．（Ⅲ）令g(x)=x22f(x)．判定函数g（x）的奇偶性

题型：解答题难度：一般来源：不详

己知函数f(x)=

2x-1

2x+1

，
（Ⅰ）证明函数f（x）是R上的增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．
（Ⅲ）令g(x)=

x2

2f(x)

．判定函数g（x）的奇偶性，并证明．

答案

（Ⅰ）设x，x是R内任意两个值，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0
y₂-y₁=f（x₂）-f（x₁）=

2x2-1

2x2+1

-

2x1-1

2x1+1

=

2•2x2-2•2x1

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

当x₁＜x₂时，2x1＜2x2
∴2x2-2x1＞0．又2x1+1＞0，2x1+1＞0
∴y₂-y₁＞0
∴f（x）是R上的增函数．
（Ⅱ）：（1）∵2x=

1+y

1-y

，又2^x＞0，
∴-1＜y＜1
函数f（x）的值域为（-1，1）；
（Ⅲ）由题意知g（x）=

x2

2

•

2x+1

2x-1

易知函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
g（-x）=

(-x)2

2

•

2-x+1

2-x-1

=

x2

2

•

1+2x

1-2x

=-

x2

2

•

2x+1

2x-1

=-g（x）
∴函数g（x）为奇函数．