己知函数f(x)=2x-12x+1,(Ⅰ)证明函数f(x)是R上的增函数;(Ⅱ)求函数f(x)的值域.(Ⅲ)令g(x)=x22f(x).判定函数g(x)的奇偶性

己知函数f(x)=2x-12x+1,(Ⅰ)证明函数f(x)是R上的增函数;(Ⅱ)求函数f(x)的值域.(Ⅲ)令g(x)=x22f(x).判定函数g(x)的奇偶性

题型:解答题难度:一般来源:不详
己知函数f(x)=
2x-1
2x+1

(Ⅰ)证明函数f(x)是R上的增函数;
(Ⅱ)求函数f(x)的值域.
(Ⅲ)令g(x)=
x2
2f(x)
.判定函数g(x)的奇偶性,并证明.
答案
(Ⅰ)设x,x是R内任意两个值,且x1<x2,则x2-x1>0
y2-y1=f(x2)-f(x1)=
2x2-1
2x2+1
-
2x1-1
2x1+1

=
2•2x2-2•2x1
(2x1+1)(2x2+1) 
=
2(2x2-2x1
(2x1+1)(2x2+1) 

当x1<x2时,2x12x2
2x2-2x1>0.又2x1+1>0,2x1+1>0
∴y2-y1>0
∴f(x)是R上的增函数.
(Ⅱ):(1)∵2x=
1+y
1-y
,又2x>0,
∴-1<y<1
函数f(x)的值域为(-1,1);
(Ⅲ)由题意知g(x)=
x2
2
2x+1
2x-1

易知函数g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
g(-x)=
(-x)2
2
2-x+1
2-x-1
=
x2
2
1+2x
1-2x
=-
x2
2
2x+1
2x-1
=-g(x)
∴函数g(x)为奇函数.
举一反三
函数f(x)=
ax+1
x+2
在区间(-2,+∞)上为增函数,则a的取值范围为(  )
A.a=
1
2
B.(-∞,
1
2
)
C.(
1
2
,+∞)
D.(-2,
1
2
)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x2+1)=x4+4x2,则f(x)在其定义域内的最小值为(  )
A.-4B.0C.-1D.1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数y=f(x)满足f(2)>f(1),f(1)<f(0)则下列选项中正确的是(  )
A.函数y=f(x)在[1,2]是减函数,在[0,1]上是增函数
B.函数y=f(x)在[1,2]是增函数,在[0,1]上是减函数
C.函数y=f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)
D.以上都不正确
题型:单选题难度:一般| 查看答案
将进货单价为8元的商品按10元一个销售时,每天可售出100个,若这种商品的销售价每个涨价1元,则日销售量就减少10个,为获取最大利润,此商品的当日销售价应定为每个______元
题型:填空题难度:一般| 查看答案
求证:y=kx+b(k>0)是R上的增函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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