三位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R) 时,分别给出下面三个结论:①函数f(x)的值域为 (-1,1)②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2)

三位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R) 时,分别给出下面三个结论:①函数f(x)的值域为 (-1,1)②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2)

题型:填空题难度:一般来源:南汇区二模
三位同学在研究函数f(x)=
x
1+|x|
(x∈R) 时,分别给出下面三个结论:
①函数f(x)的值域为 (-1,1)
②若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2
③若规定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],则fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立.
你认为上述三个结论中正确的个数有______.
答案
函数f(x)=
x
1+|x|
化为分段函数即函数f(x)=





x
1+x
(x≥0)
x
1-x
(x<0)

∵f(-x)=-f(x)
∴函数f(x)=
x
1+|x|
为奇函数,
∵x≥0时,f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
∈[0,1)
∴函数f(x)的值域为 (-1,1),故①正确
∵x≥0时,f(x)=
x
1+x
=1-
1
1+x
为[0,+∞)的单调增函数
∴函数f(x)为R上的单调增函数,
∴若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2),故②正确
下面用数学归纳法证明③正确
证明:n=1时,命题显然成立;
假设n=k时命题成立,即fk(x)=
x
1+k|x|

则n=k+1时,fk+1(x)=f(fk(x))=
fk(x)
1+k|fk(x)|
=
x
1+k|x|
1+k|
x
1+k|x|
|
=
x
1+(k+1)|x|

即n=k+1时命题成立
fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立
故答案为3
举一反三
已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0),其中a、b为实常数.
(1)若方程f(x)=3x+1有且仅有一个实数解x=2,求a、b的值;
(2)设a>0,x∈(0,+∞),写出f(x)的单调区间,并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明;
(3)若对任意的a∈[
1
2
,2],不等式f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]上恒成立,求实数b的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是偶函数,当x>0时,其导函数f"(x)<0,则满足f(
x
4
)=f(
x-1
x-3
)
的所有x之和为(  )
A.-6B.6C.-7D.7
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-100),则f′(1)=(  )
A.-99!B.-100!C.-98!D.0
题型:单选题难度:一般| 查看答案
下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的是(  )
A.y=


x
B.y=cosxC.y=exD.y=ln|x|
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
|x|-sinx+1
|x|+1
(x∈R)的最大值为M,最小值为m,则M+m=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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