已知函数f(x)=x+12-x，x∈[3，5]．（1）判断函数f（x）在[3，5]上的单调性，并证明；（2）求函数f(x)=x+12-x，x∈[3，5]的最大值

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=

x+1

2-x

，x∈[3，5]．
（1）判断函数f（x）在[3，5]上的单调性，并证明；
（2）求函数f(x)=

x+1

2-x

，x∈[3，5]的最大值和最小值．

答案

（1）f（x）在[3，5]上是单调增函数
证明：设x₁，x₂是区间[3，5]上的两个任意实数且x₁＜x₂（2分）
f(x1)-f(x2)=

x1+1

2-x1

-

x2+1

2-x2

=

3(x1-x2)

(2-x1)(2-x2)

（5分）
∵3≤x₁＜x₂≤5
∴x₁-x₂＜02-x₁＞02-x₂＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[3，5]上是单调增函数（8分）

（2）∵f（x）在[3，5]上是单调增函数，所以x=3时，f（x）取最小值-4（10分）
x=5时f（x）取最大值-2（12分）