函数f(x)=x+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数．（I）求函数f（x）的解析式；（II）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

函数f(x)=

x+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．

答案

（ I）∵函数f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，f（-x）=-f（x）…（2分）
故

-x+b

1+x2

=-

x+b

1+x2

，
所以b=0，…（4分）
所以 f(x)=

x

1+x2

．…（5分）
（ II） 设0＜x₁＜x₂＜1，△x=x₂-x₁＞0，…（6分）
则△y=f（x₂）-f（x₁）=

x2

1+ x 22

-

x1

1+ x 21

=

x2-x1+x2 x 21 -x1 x 22

(1+ x 21 )(1+ x 22 )

=

(x2-x1)(1-x1x2)

(1+ x 21 )(1+ x 22 )

=

△x(1-x1x2)

(1+ x 21 )(1+ x 22 )

…（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴△x=x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0…（10分）
∴而 1+

x

21

＞0，1+

x

22

＞0，
∴△y=f（x₂）-f（x₁）＞0…（11分）
∴f（x）在（0，1）上是增函数．…（12分）