已知函数f（x）=（m-1）x+1x，且f（1）=2；①求出函数f（x）的解析表达式，并判断奇偶性；②证明函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=（m-1）x+

1

x

，且f（1）=2；
①求出函数f（x）的解析表达式，并判断奇偶性；
②证明函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．

答案

①由f（x）=（m-1）x+

1

x

，且f（1）=2；得m=2，
解析式为f（x）=x+

1

x

，且（x≠0），由定义域关于原点对称，
且f(-x)=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)，
∴f（x）在定义域内为奇函数．
②任设1≤x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

═

(x2-x1)(1-x1x2)

x1x2

，
因为1≤x₁1，1-x₁x₂0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．