已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域和值域；（Ⅱ）写出f（x）的单调区间，并用定义证明f（x）在所写区间上的单调性。

题型：解答题难度：一般来源：山西省月考题

已知函数，
（Ⅰ）求f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）写出f（x）的单调区间，并用定义证明f（x）在所写区间上的单调性。

答案

解：（Ⅰ），
∵，
∴定义域为，
，
，
∴，
∴或，
∴或，或，
所以，函数的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）。
（Ⅱ）函数f（x）的单调递减区间为（0，+∞）和（-∞，0），
设，且，
∴，
∴，，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数；
同理可证，f（x）在（-∞，0）上也为减函数。