已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1，1]上的减函数。（Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若g(x)

题型：解答题难度：困难来源：天津月考题

已知函数f（x）=ln（e^x+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1，1]上的减函数。
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若g(x)＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）讨论关于x的方程=x²-2ex+m的根的个数。

答案

解：（Ⅰ）是奇函数，
∴，
∴，
∴，
∴，故a=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
∴，
上单调递减，
∴，
∴在[-1，1]上恒成立，
∴，
∴
∴只需
∴（其中λ≤-1）恒成立，
令，
则，
∴，而恒成立，
∴t＜-1。
（Ⅲ）由，
令
，
当时，，
∴在上为增函数；
当时，，
∴在上为减函数；
当x=e时，，
而
∴当，即时，方程无解；
当，即时，方程有一个根；
当，即时，方程有两个根。