已知函数（x∈R，e=2.71828…），（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；（2）是否存在实数k，使不等式f（x-k）+f（x2-k2）≥0对任意x∈R恒

题型：解答题难度：一般来源：0121 期中题

已知函数（x∈R，e=2.71828…），
（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性；
（2）是否存在实数k，使不等式f（x-k）+f（x²-k²）≥0对任意x∈R恒成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵（x∈R），
∴，
∴f（x）是奇函数；
任取，
则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴f（x）在R上是增函数；
（2）由（1）知，f (x)是奇函数且在R上是增函数，
于是
对任意x∈R恒成立，
，
，
∴，
∴当时，不等式f（x-k）+f（x²-k²）≥0对任意x∈R恒成立。