已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时,。 (1)求f(x)的解析式;(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,
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已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时,。 (1)求f(x)的解析式;(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,
题型:解答题
难度:一般
来源:期中题
已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时,
。
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t
2
-2t)+f(2t
2
-k)<0恒成立,求实数k的取值范围。
答案
解:(1)∵定义域为R的函数f(x)是奇函数,
∴f(0)=0,
当x<0时,-x>0,∴
,
又函数f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
∴
,
综上所述,
(2)
且f(x)在R上单调,
∴f(x)在R上单调递减,
由
得
,
∵f(x)是奇函数,
∴
,
又∵f(x)是减函数,
∴
,
即
对任意t∈R恒成立,
∴
,解得:
即为所求。
举一反三
某同学在研究函数
(x∈R)时,分别给出下面几个结论:
(1)函数f(x)是奇函数;
(2)函数f(x)的值域为(-1,1);
(3)函数f(x)在R上是增函数;
(4)函数g(x)=f(x)-b(b为常数,b∈R)必有一个零点,
其中正确结论的序号为( )(把所有正确结论的序号都填上)
题型:填空题
难度:一般
|
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定义在R上的单调函数f(x)满足对任意x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=1。
(1)求f(0)的值,并判断f(x)的奇偶性;
(2)解关于x的不等式:f(x-x
2
+2)+f(2x)+2<0。
题型:解答题
难度:一般
|
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下列函数f(x)中,满足“对任意x
1
,x
2
∈(0,+∞),当x
1
<x
2
时,都有f(x
1
)>f(x
2
)的是
[ ]
A.f(x)=
B.f(x)=(x-1)
2
C.f(x)=e
x
D.f(x)=ln(x+1)
题型:单选题
难度:一般
|
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x
,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为
[ ]
A.7
B.6
C.5
D.4
题型:单选题
难度:一般
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试用定义讨论并证明函数
在(-∞,-2)上的单调性。
题型:解答题
难度:一般
|
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