已知函数f(logax)=aa-1(x-1x)(a>0且a≠1).(1)求f(x)解析式并判断f(x)的奇偶性;(2)对于(1)中的函数f(x),若∀x1,x2
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已知函数f(logax)=aa-1(x-1x)(a>0且a≠1).(1)求f(x)解析式并判断f(x)的奇偶性;(2)对于(1)中的函数f(x),若∀x1,x2
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(log
a
x)=
a
a-1
(x-
1
x
)(a>0且a≠1).
(1)求f(x)解析式并判断f(x)的奇偶性;
(2)对于(1)中的函数f(x),若∀x
1
,x
2
∈R当x
1
<x
2
时都有f(x
1
)<f(x
2
)成立,求满足条件f(1-m)+f(m
2
-1)<0的实数m的取值范围.
答案
(1)令log
a
x=t,则x=a
t
,
∴
f(t)=
a
a-1
(
a
t
-
1
a
t
)
∴
f(x)=
a
a-1
(
a
x
-
1
a
x
),x∈R
-----------------------------------------------
(4分)
因为
f(-x)=
a
a-1
(
a
-x
-
1
a
-x
)=-f(x)
∴f(x)为奇函数
-------------------
(6分)
(2)因为∀x
1
,x
2
∈R当x
1
<x
2
时都有f(x
1
)<f(x
2
)成立,
所以f(x)在R上单调递增
------------------------------
(8分)
由f(1-m)+f(m
2
-1)<0得f(m
2
-1)<-f(1-m),
又f(x)为奇函数,
∴-f(1-m)=f(m-1),即f(m
2
-1)<f(m-1),
------------------------------
(10分)
由f(x)在R上单调递增得m
2
-1<m-1,
即m
2
<m解得0<m<1
故实数m的取值范围为(0,1)
------------------------------
(12分)
举一反三
“a=0”是“函数y=ln|x-a|为偶函数”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
题型:单选题
难度:一般
|
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当x>1时,不等式mx
2
+mx+1≥x恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.[3+2
2
,+∞)
B.(-∞,3+2
2
]
C.[3-2
2
,+∞)
D.(-∞,3-2
2
]
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知f(x)(x∈R,且x≠kπ+
π
2
(k∈Z))是周期为π的函数,当x∈(
-
π
2
,
π
2
)时,f(x)=2x+cosx.设a=f(-1),b=f(-2),c=f(-3)则( )
A.c<b<a
B.b<c<a
C.c<a<b
D.a<c<b
题型:单选题
难度:一般
|
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定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时f(x)=-2(x-3)
2
,若函数y=f(x)-log
a
(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围为( )
A.
(0,
2
2
)
B.
(0,
3
3
)
C.
(0,
5
5
)
D.
(0,
6
6
)
题型:单选题
难度:简单
|
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已知x
2
+px+q<0的解集为{x|-
1
2
<x<
1
3
},若f(x)=qx
2
+px+1
(1)求不等式f(x)>0的解集.
(2)若f(x)
<
a
6
恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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